Question

10．设α∈（0，$\frac{π}{2}$），若sin²α+cos2α=$\frac{1}{4}$，求sin²α-sin2α的值．

Answer 1

分析 由已知求得cos²α的值，进一步求得sin²α的值，再由α的范围求得sinα、cosα的值，得到sin2α的值，则答案可求．

解答 解：由sin²α+cos2α=$\frac{1}{4}$，得$si{n}^{2}α+2co{s}^{2}α-1=\frac{1}{4}$，
∴$co{s}^{2}α=\frac{1}{4}$，$si{n}^{2}α=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴cosα=$\frac{1}{2}$，sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则sin2$α=2sinαcosα=2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin²α-sin2α=$\frac{3}{4}-\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，训练了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．