Question

14．已知（2+x）¹⁰的展开式中，x^r项的系数为a_r（r=0，1，2，…，10），求a_r的最大值．

Answer 1

分析 （2+x）¹⁰的展开式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{r}$，令$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}≤{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}}\\{{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}≥{∁}_{10}^{r+2}{2}^{8-r}}\end{array}\right.$，利用组合数的运算性质即可得出．

解答 解：（2+x）¹⁰的展开式中，T_r+1=${∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}{x}^{r}$，
令$\left\{\begin{array}{l}{{∁}_{10}^{r}{2}^{10-r}≤{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}}\\{{∁}_{10}^{r+1}{2}^{9-r}≥{∁}_{10}^{r+2}{2}^{8-r}}\end{array}\right.$，化为：$\left\{\begin{array}{l}{2（r+1）≤10-r}\\{2（r+2）≥9-r}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{5}{3}$≤$r≤\frac{8}{3}$，∴r=2．
∴T₄=${∁}_{10}^{3}×{2}^{7}$=15360．
∴a_r的最大值是15360．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．