Question

19．定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）-f（-x）=2x³，当x∈（-∞，0]时f'（x）＜3x²，实数a满足f（1-a）-f（a）≥-2a³+3a²-3a+1，则a的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{3}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{3}{2}}]$
• C． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• D． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$

Answer 1

分析 令g（x）=f（x）-x³，由g（-x）=g（x），可得函数g（x）为偶函数．利用导数可得函数g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，f（1-a）-f（a）≥-2a³+3a²-3a+1，即g（1-a）≥g（a），可得|1-a|≥|a|，由此解得a的范围

解答 解：令g（x）=f（x）-x³，
则g（-x）=f（-x）-x³，
则g（x）-g（-x）=f（x）-f（-x）-2x³=0，得g（x）为R上的偶函数，
∵x＜0时，g'（x）=f'（x）-3x²＜0，故g（x）在（-∞，0）单调递减，
再结合g（x）为偶函数，知g（x）在（0，+∞）单调递增，
又g（1-a）-g（a）=f（1-a）-（1-a）³-（f（a）-a³）=f（1-a）-f（a）+2a³-3a²+3a-1=0，
则g（1-a）≥g（a）等价于|1-a|≥|，解得a≤$\frac{1}{2}$，即a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．