Question

4．已知函数f（x）=ksin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象过点（π，1）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的图象过点（π，1），求得k的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的增区间．
（2）利用余弦函数的定义域和值域，求得t=cos（2x$\frac{π}{6}$）的范围，再利用三角恒等变换化简g（x）的解析式，利用二次函数的性质，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ksin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象过点（π，1），∴ksin（2π+$\frac{π}{6}$）=ksin$\frac{π}{6}$=$\frac{k}{2}$=1，k=2，
∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
再根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得函数f（x）的增区间为[0，$\frac{π}{6}$]．
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，则2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，∴t=cos（2x$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]．
求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f²（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1=$\frac{1}{2}$•${sin}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$-2sin（2x+$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1=$\frac{1}{2}$•[1-${cos}^{2}（2x+\frac{π}{6}）$]-2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1
=-$\frac{1}{2}$•t²-2t-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（t²+4t）-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$•（t+2）²+$\frac{3}{2}$，
故当t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，函数g（x）取得最大值为$\sqrt{3}$-$\frac{7}{8}$；当t=1时，函数g（x）取得最小值为-3，
故函数g（x）的值域为[-3，$\sqrt{3}$-$\frac{7}{8}$]．

点评 本题主要考查求三角函数的解析式，正弦函数的单调性，三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，属于中档题．