Question

20．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-3|
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若对任意x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，不等式f（x）=|2x+a|-4恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过对x取值的分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）利用等价转化思想，可得|2x+a|≤8，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当x≤-$\frac{1}{2}$时，-2x-1-2x+3≤6⇒x≥-1；
当-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$时，-2x-1+2x-3≤6恒成立；
当x≥$\frac{3}{2}$时，2x+1+2x-3≤6⇒x≤2，
综上，解集为[-1，2]；
（Ⅱ）f（x）≥|2x+a|-4?|2x+a|≤8
即-8≤2x+a≤8⇒$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥-8}\\{a+2≤8}\end{array}\right.$⇒-7≤a≤6．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想、分类讨论思想与综合运算能力，属于中档题．