Question

10．对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[-2.1]=-3．定义在R上的函数f（x）=[2x]+[4x]+[8x]，若A={y|y=f（x），0＜x＜1}，则A中所有元素之和为44．

Answer 1

分析 对x分类讨论，利用[x]的意义，即可得出函数f（x）的值域A，进而A中所有元素之和．

解答 解：∵[x]表示不超过x的最大整数，A={y|y=f（x），0＜x＜1}，
当0＜x＜$\frac{1}{8}$时，0＜2x＜$\frac{1}{4}$，0＜4x＜$\frac{1}{2}$，0＜8x＜1，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0；
当$\frac{1}{8}$≤x＜$\frac{1}{4}$时，$\frac{1}{4}$≤2x＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$≤4x＜1，1≤8x＜2，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+1=1；
当$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{3}{8}$时，$\frac{1}{2}$≤2x＜$\frac{3}{4}$，1≤4x＜$\frac{3}{2}$，2≤8x＜3，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1=2=3；
当$\frac{3}{8}$≤x＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{3}{4}$≤2x＜1，$\frac{3}{2}$≤4x＜2，3≤8x＜4，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=0+1+3=4；
当$\frac{1}{2}$≤x＜$\frac{5}{8}$时，1≤2x＜$\frac{5}{4}$，2≤4x＜$\frac{5}{2}$，4≤8x＜5，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+4=7；
当$\frac{5}{8}$≤x＜$\frac{3}{4}$时，$\frac{5}{4}$≤2x＜$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$≤4x＜3，5≤8x＜6，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+2+5=8；
当$\frac{3}{4}$≤x＜$\frac{7}{8}$时，$\frac{3}{2}$≤2x＜$\frac{7}{4}$，3≤4x＜$\frac{7}{2}$，6≤8x＜7，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+6=10；
当$\frac{7}{8}$≤x＜1时，$\frac{7}{4}$≤2x＜2，$\frac{7}{2}$≤4x＜4，7≤8x＜8，f（x）=[2x]+[4x]+[8x]=1+3+7=11；
∴A={0，1，3，4，7，8，10，11}．
∴A中所有元素之和为0+1+3+4+7+8+10+11=44．
故答案为：44．

点评 本题考查了新定义、函数的值域、不等式的性质、集合，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．