Question

已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）如果关于的方程有实数根，求实数的取值范围；

（3）是否存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实根？如果存在，求的取值范围，如果不存在，说明理由？

Answer 1

解：（1），且，

，令，解得：或.

，随变化情况如下表：

		0			0
	↗		↘	↘		↗

∴的单调递增区间是（）和（），单调递减区间是（）和（）。

（2），∴

     取，，令，；

∴， 又，， ∴的取值范围是.

，随变化情况如下表：

		2
		0
	↗		↘

（3）

      ∴

    取………………………10分

      对称轴

   当时，图象开口向下，

     ∴在上单调递减，

     ∴，∴在上单调递减，不可能有两个不等实根.

   当时，，

同理，∴在上单调递减，不可能有两个不等实根.

   当时，图象开口向上，

又，此时在有且仅有一根，设为.

  对，，，在上单调递减；

对，，，在上单调递增；

又，∴，

  ， ，∴

此时没有实数根

   综上所述，不存在正数，使得关于的方程有两个不相等的实根