Question

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A₁B₁，∠BAD＝60°.
 
(1)证明：AA₁⊥BD；
(2)证明：CC₁∥平面A₁BD.

Answer 1

见解析

(1)法一因为D₁D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D₁D⊥BD.
在△ABD中，由余弦定理，得
BD²＝AD²＋AB²－2AD·ABcos∠BAD.
又因为AB＝2AD，∠BAD＝60°，所以BD²＝3AD².
所以AD²＋BD²＝AB²，因此AD⊥BD.
又AD∩D₁D＝D，所以BD⊥平面ADD₁A₁.
又AA₁?平面ADD₁A₁，所以AA₁⊥BD.
法二因为DD₁⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，
所以BD⊥D₁D.
如图1，取AB的中点G，连接DG.

图1
在△ABD中，由AB＝2AD，得AG＝AD.又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形，所以GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB.
又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，
所以∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，
所以BD⊥AD.
又AD∩D₁D＝D，所以BD⊥平面ADD₁A₁.
又AA₁?平面ADD₁A₁，所以AA₁⊥BD.
(2)如图2，连接AC，A₁C₁.
设AC∩BD于点E，

图2
连接EA₁.
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以EC＝AC.
由棱台的定义及AB＝2AD＝2A₁B₁知，
A₁C₁∥EC且A₁C₁＝EC，
所以四边形A₁ECC₁为平行四边形，
因此CC₁∥EA₁.
又因为EA₁?平面A₁BD，CC₁?平面A₁BD，
所以CC₁∥平面A₁BD.