Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{2}{3}$，F₁、F₂分别为其左、右焦点，点M为椭圆C的上的顶点，且，△MF₁F₂的面积为2$\sqrt{5}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过圆x²+y²=b²上一点P（点P在y轴右侧），作该圆的切线l，交椭圆C于A，B两点，求△AF₂B的周长．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=2\sqrt{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）设切点P（x₀，y₀），（x₀＞0）．切线l的方程为：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）.${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=5．直线l的方程与椭圆方程联立可得：$（5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}）$x²-90x₀x+225-45${y}_{0}^{2}$=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，|AF₂|=$\sqrt{{y}_{1}^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}}$，|BF₂|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$．即可得出△AF₂B的周长=|AF₂|+|BF₂|+|AB|．

解答 解：（1）由题意可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{2}{3}}\\{\frac{1}{2}•2c•b=2\sqrt{5}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=3，c=2，b²=5．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
（2）设切点P（x₀，y₀），（x₀＞0）．切线l的方程为：y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
${x}_{0}^{2}+{y}_{0}^{2}$=5．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}x+\frac{5}{{y}_{0}}}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1}\end{array}\right.$，化为：$（5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}）$x²-90x₀x+225-45${y}_{0}^{2}$=0，
∴x₁+x₂=$\frac{90{x}_{0}}{5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}}$=$\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{225-45{y}_{0}^{2}}{5{y}_{0}^{2}+9{x}_{0}^{2}}$=$\frac{45{x}_{0}^{2}}{25+4{x}_{0}^{2}}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+\frac{{x}_{0}^{2}}{{y}_{0}^{2}}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{\frac{5}{{y}_{0}^{2}}[（\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}）^{2}-\frac{180{x}_{0}^{2}}{25+4{x}_{0}^{2}}]}$=$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$
|AF₂|=$\sqrt{{y}_{1}^{2}+（{x}_{1}-2）^{2}}$=$\sqrt{5（1-\frac{{x}_{1}^{2}}{9}）+（{x}_{1}-2）^{2}}$=3-$\frac{2}{3}{x}_{1}$，
同理可得|BF₂|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$．
∴△AF₂B的周长=|AF₂|+|BF₂|+|AB|=3-$\frac{2}{3}{x}_{2}$+3-$\frac{2}{3}{x}_{1}$+$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$=6-$\frac{2}{3}$×$\frac{90{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$+$\frac{60{x}_{0}}{25+4{x}_{0}^{2}}$=6．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次的方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．