Question

在平面直角坐标系中，点P（x，y）为动点，已知点，，直线PA与PB的斜率之积为．
（I）求动点P轨迹E的方程；
（ II）过点F（1，0）的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q（M、Q不重合），求证：直线MQ过定点．

Answer 1

（I）解：由题知：…（2分）
化简得：…（4分）
（II）证明一：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：x=my+1，
代入整理得（m²+2）y²+2my-1=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵MQ的方程为
令y=0，得…（10分）
∴直线MQ过定点（2，0）．…（12分）
证明二：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），Q（x₂，-y₂），l：y=k（x-1），
代入整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0…（6分）
∴，，…（8分）
∵MQ的方程为
令y=0，得…（10分）
∴直线MQ过定点（2，0）．…（12分）
分析：（I）利用直线PA与PB的斜率之积为，建立等式，化简，即可求得求动点P轨迹E的方程；
（II）设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得直线方程，令y=0，即可证得结论．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．