Question

7．已知点A（1，2）在抛物线Γ：y²=2px上．若△ABC的三个顶点都在抛物线Γ上，记三边AB，BC，CA所在直线的斜率分别为k₁，k₂，k₃，则$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 5

Answer 1

分析 把点A（1，2）代入抛物线Γ：y²=2px上，可得p=2．即可得到抛物线Γ的方程为：y²=4x．设B（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），分别求得k₁，k₂，k₃，代入即可求得$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$的值．

解答 解：（1）∵点A（1，2）在抛物线Γ：y²=2px上，∴2²=2p×1，解得p=2．
∴抛物线Γ的方程为：y²=4x．
设B（$\frac{{y}_{1}^{2}}{4}$，y₁），C（$\frac{{y}_{2}^{2}}{4}$，y₂），
k₁=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{\frac{{y}_{1}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，k₃=$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{y}_{2}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{2}+2}$，
$\frac{1}{k_1}-\frac{1}{k_2}+\frac{1}{k_3}$=$\frac{{y}_{1}+2}{4}$-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}+2}{4}$=1，
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、斜率计算公式，属于中档题．