Question

19．对于n∈N₊，将n表示$n={a_0}×{2^k}+{a_1}×{2^{k-1}}+{a_2}×{2^{k-2}}+…+{a_{k-1}}×{2^1}+{a_k}×{2^0}$，当i=0时a_i=1，当1≤i≤k时，a_i为0或1．记I（n）为上述表示中a_i为0的个数，例如：1=1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×2⁰，故I（1）=0，I（4）=2．则（1）I（10）=2； （2）$\sum_{n=1}^{63}{{2^{I（n）}}=}$364．

Answer 1

分析 （1）根据题意分析可得，将n表示n=a₀×2^k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，实际是将十进制的数转化为二进制的数，得10=1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰，由I（n）的意义可得答案；
（2）将n分为n=63，32≤n≤63，16≤n≤31，…n=1等6种情况，由组合数的性质，分析其中I（n）的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前6项和，计算可得$\sum_{n=1}^{63}{2}^{I（n）}$的值．

解答 解：（1）根据题意，10=1×2³+0×2²+1×2¹+0×2⁰，则I（10）=2；
（2）63=1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
设32≤n≤63，且n为整数；
则n=1×2⁵+a₁×2⁴+a₂×2³+a₃×2²+a₄×2¹+a₅×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₅⁰种情况，即有C₅⁰个I（n）=5；
其中有一个为1时，有C₅¹种情况，即有C₅¹个I（n）=4；
其中有2个为1时，有C₅²种情况，即有C₅²个I（n）=3；
…
∴$\sum_{n=32}^{63}{2}^{I（n）}$═C₅⁰×2⁵+C₅¹×2⁴+C₅²×2³+C₅³×2²+C₅⁴×1+C₅⁵×0=3⁵，
同理可得，$\sum_{n=16}^{31}{2}^{I（n）}$=3⁴，$\sum_{n=8}^{15}{2}^{I（n）}={3}^{3}$，$\sum_{n=4}^{7}{2}^{I（n）}={3}^{2}$，$\sum_{n=2}^{3}{2}^{I（n）}={3}^{1}$，I（1）=0，
∴$\sum_{n=1}^{63}{2}^{I（n）}$=1+3¹+3²+…+3⁵=$\frac{1-{3}^{6}}{1-3}$=364，
故答案为：（1）2；（2）364．

点评 本题考查归纳推理，二项式定理与组合数性质，等比数列的前n项和公式等，解本关键在于分析题意，透彻理解I（n）的含义，注意转化思想，考查观察、分析、归纳的能力．