Question

8．设函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax，其中a≥1，求函数f（x）在[a，+∞）上的最值．

Answer 1

分析 求得f（x）的导数，由a≥1，考虑x＞0时，0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，可得f（x）在（0，+∞）递减，即有函数f（x）在[a，+∞）上递减，可得f（x）的最值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax的导数为g′（x）=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$•2x-a
=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a，
当x＞0时，由0＜$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}+1}$＜1，可得0＜$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜1，
由a≥1，可得$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a＜0，
则f（x）在（0，+∞）递减，
即有函数f（x）在[a，+∞）上递减，
则f（x）的最大值为f（a）=$\sqrt{{a}^{2}+1}$-a²，无最小值．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数判断单调性，考查运算能力，正确求导是解题的关键，属于中档题．