Question

10．设m、n∈R，a、b∈（1，+∞），若a^m=bⁿ=2016，a+b=24$\sqrt{14}$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最大值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由指对互化和a^m=bⁿ=2016求出m、n，由对数的运算性质求出$\frac{1}{m}、\frac{1}{n}$，根据条件和基本不等式求出ab的范围，代入$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$后由对数函数的性质求出最小值．

解答 解：∵a^m=bⁿ=2016，a、b∈（1，+∞），
∴m=${log}_{a}^{2016}$，n=${log}_{b}^{2016}$，
则$\frac{1}{m}{=log}_{2016}^{a}$，$\frac{1}{n}{=log}_{2016}^{b}$，
∵a+b=24$\sqrt{14}$，∴ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=${（\frac{24\sqrt{14}}{2}）}^{2}$=2016，
当且仅当a=b时取等号，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=${log}_{2016}^{a}$+${log}_{2016}^{b}$=${log}_{2016}^{（ab）}$≤${log}_{2016}^{2016}$=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是1，
故选：C．

点评 本题考查了对数的运算性质，指对互化，对数函数的性质，以及基本不等式求最值的应用，属于中档题．