Question

1．如图，四边形ABCD外接于圆，AC是圆周角∠BAD的角平分线，过点C的切线与AD延长线交于点E，AC交BD于点F．
（Ⅰ）求证：BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，求AD的长度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据圆的切线性质结合角平分线的性质即可证明BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圆的直径，AB=4，DE=1，根据三角形相似的性质即可求AD的长度．

解答 解：（Ⅰ）∵AC是圆周角∠BAD的角平分线，∴∠EAC=∠BAC，
又∵CE是圆的切线，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，
∴BD∥CE…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，
∵AB是圆的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴$Rt△CED\～Rt△ACB$，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}$，
∵∠EAC=∠DBC，由（Ⅰ）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}=\frac{BC}{AB}$，则BC²=AB•DE=4，∴BC=2
∴在Rt△ABC中，$BC=\frac{1}{2}AB$，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=2$．…10分．

点评 本题主要考查与圆有关的性质的应用，根据直线和圆的性质，结合三角形相似的性质是解决本题的关键．