Question

11．已知f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值及相应x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）推导出f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，由此能求出f（x）的最小正周期．
（2）由f（x）=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，知f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，此时2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+sin²x-cos²x
=sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．
（2）由（1）及正弦函数的最大值为1，知f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，
此时2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得x=$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z．
∴x=$\frac{3π}{8}$+kπ，（k∈Z）时，f（x）取最大值$\sqrt{2}$，
∴f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，相应x的取值集合为{x|x=$\frac{3π}{8}$+kπ，k∈Z}．

点评 本题考查三角函数的最小正周期、最大值及相应x的取值集合的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．