Question

3．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l过定点（1，0），求直线l被曲线C截得的线段AB的长．

Answer 1

分析 （1）由ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，由此能求出曲线C的直线坐标方程．
（2）由直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），得直线l的直角坐标方程是x+y=1．由此能求出直线l被曲线C截得的线段AB的长．

解答 解：（1）由ρcos2θ+8cosθ-ρ=0，
得ρ（1-2sin²θ）+8cosθ-ρ=0，
所以ρsin²θ=4cosθ，
所以ρ²sin²θ=4ρcosθ，
即曲线C的直线坐标方程为y²=4x．
（2）因为直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=tcosα\\ y=1+tsinα\end{array}\right.$（t为参数，0≤α＜π），
所以直线l在y轴上的截距为1，
又因为直线l过定点（1，0），
由直线方程的截距式，得直线l的直角坐标方程是x+y=1．
联立$\left\{\begin{array}{l}x+y=1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，得x²-6x+1=0，
又点（1，0）是抛物线的焦点，
由抛物线的定义，得弦长|AB|=x_A+x_B+2=6+2=8．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直角坐标与极坐标的互化公式的合理运用．