Question

16．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC，点E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；
（Ⅲ）求二面角E-BD-P的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，利用向量法能证明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）求出平面EBD的法向量和平面PBD的法向量，利用向量法能求出二面角E-BD-P的平面角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，
设正方形ABCD的边长为1，
则D（0，0，0），P（0，0，1），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），…（2分）
∴$E（{0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{DB}=（1，1，0），\overrightarrow{DE}=（0，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}），\overrightarrow{PA}=（1，0，-1）$．…（4分）
设平面EBD的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}={x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{1}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n_1}=（1，-1，1）$，
∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{PA}=0$，∴$\overrightarrow{PA}$∥平面EBD．
∴PA∥平面EBD． …（6分）
解：（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，
∴AC⊥BD，AC⊥PD，
∵BD∩PD=D，∴平面PBD的法向量为$\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{AC}=（-1，1，0）$．  …（9分）
设二面角E-BD-P的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角E-BD-P的平面角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，注意向量法的合理运用．