Question

【题目】关于x的不等式lg（|x+3|﹣|x﹣7|）＜m．
（1）当m=1时，解此不等式；
（2）设函数f（x）=lg（|x+3|﹣|x﹣7|），当m为何值时，f（x）＜m恒成立？

Answer 1

【答案】
（1）解：当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，

由|x+3|＞|x﹣7|，两边平方，解得，x＞2，

由于||x+3|﹣|x﹣7||≤|（x+3）﹣（x﹣7）|=10，即有﹣10≤|x+3|﹣|x﹣7|≤10，

且x≥7时，|x+3|﹣|x﹣7|=x+3﹣（x﹣7）=10．

则有2＜x＜7．

故可得其解集为{x|2＜x＜7}；

（2）解：设t=|x+3|﹣|x﹣7|，

则由对数定义及绝对值的几何意义知，0＜t≤10，

因y=lgx在（0，+∞）上为增函数，则lgt≤1，

当t=10，即x=7时，lgt=1为最大值，

故只需m＞1即可，

即m＞1时，f（x）＜m恒成立．

【解析】（1）当m=1时，原不等式可变为0＜|x+3|﹣|x﹣7|＜10，通过两边平方和绝对值不等式的性质，即可得到解集；（2）设t=|x+3|﹣|x﹣7|，则0＜t≤10，f（x）＜m恒成立，只需m＞f（x）max ， 求得最大值即可．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．