【题目】在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,P是上底面A1B1C1D1内一点,若AP∥平面BDEF,则线段AP长度的取值范围是( )
A.[,]B.[,]C.[,]D.[,]
【答案】B
【解析】
分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N,连接MN,可证平面AMN∥平面BDEF,得P点在线段MN上.由此可判断当P在MN的中点时,AP最小;当P与M或N重合时,AP最大.然后求解直角三角形得答案.
如图所示,分别取棱A1B1、A1D1的中点M、N,连接MN,连接B1D1,
∵M、N、E、F为所在棱的中点,∴MN∥B1D1,EF∥B1D1,
∴MN∥EF,又MN平面BDEF,EF平面BDEF,∴MN∥平面BDEF;
连接NF,由NF∥A1B1,NF=A1B1,A1B1∥AB,A1B1=AB,
可得NF∥AB,NF=AB,则四边形ANFB为平行四边形,
则AN∥FB,而AN平面BDEF,FB平面BDEF,则AN∥平面BDEF.
又AN∩NM=N,∴平面AMN∥平面BDEF.
又P是上底面A1B1C1D1内一点,且AP∥平面BDEF,∴P点在线段MN上.
在Rt△AA1M中,AM,
同理,在Rt△AA1N中,求得AN,则△AMN为等腰三角形.
当P在MN的中点时,AP最小为,
当P与M或N重合时,AP最大为.
∴线段AP长度的取值范围是[,].
故选:B.
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【题目】已知平面上一动点A的坐标为.
(1)求点A的轨迹E的方程;
(2)点B在轨迹E上,且纵坐标为.
(i)证明直线AB过定点,并求出定点坐标;
(ii)分别以A,B为圆心作与直线相切的圆,两圆公共弦的中点为H,在平面内是否存在定点P,使得为定值?若存在,求出点P坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知椭圆:的离心率为,且椭圆上一点的坐标为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于,两点,且以线段为直径的圆过椭圆的右顶点,求面积的最大值.
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【题目】下列命题中假命题是( )
A.若随机变量服从正态分布,,则;
B.已知直线平面,直线平面,则“”是“”的必要不充分条件;
C.若,则在方向上的正射影的数量为
D.命题的否定
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【题目】如图,四棱锥中,,,,,.
(1)求证:平面平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角为?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知点是圆上任意一点,过点作轴于点,延长到点,使.
(1)求点M的轨迹E的方程;
(2)过点作圆O的切线l,交(1)中曲线E于两点,求面积的最大值.
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