Question

已知向量，把向量绕坐标原点O按逆时针方向旋围θ角得到向量，则下列说法不正确的为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   、在方向上的投影相等

Answer 1

A
分析：如图，作出以OA、OB为邻边的平行四边形OACB，根据题意可得到四边形OACB是菱形且不是矩形．然后根据矩形的对角线相等，得到A项不正确；根据三角形两边之和大于第三边，得到B项正确；根据菱形的对角线互相垂直得到C项正确；根据菱形的性质和向量投影的概念，得到D项正确．由此得到正确答案．
解答：如图，根据向量加法的平等四边形法则，可得
设OC是以OA、OB为邻边的平等四边形的对角线，则有，
又由向量减法的三角形法则，得．
由于向量绕坐标原点O按逆时针方向旋围θ角得到向量，
且角θ∈（0°，90°），所以四边形OACB是菱形且不是矩形．
接下来说明各项的正误及其原因：
对于A，由于四边形OACB不是矩形，它的对角线不相等，即，
也就是，故A不正确；
对于B，在三角形OAC中，有，而向量，因此有，故B正确；
对于C，因为四边形OACB是菱形，所以对角线BA与OC互相垂直，因此有，故C正确；
对于D，根据向量数量积的几何意义，得到在上的投影等于，
在上的投影等于，因为四边形OACB是菱形，所以OC是∠AOB的平分线，即cos∠COA=cos∠COB，所以有，
可得、在方向上的投影相等，故D正确．
综上所述，中只有A项是不正确的．
故选A
点评：本题借助于一个向量的旋转得到另一个向量，来判断它们和和向量与差向量的位置关系与大小比较，着重考查了向量加法、减法的法则和向量投影的概念，属于基础题．