Question

抛物线C₁：y=ax²（a＞0）的焦点与双曲线C₂：

x2

3

-y²=1的右焦点的连线交C₁于第一象限的点M，若C₁在点M处的切线平行于C₂的一条渐近线，则a=（　　）

• A、

  3

  16

• B、

  3

  8

• C、

  2 3

  3

• D、

  4 3

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出函数y=ax²（a＞0）在交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与a的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得a的值．

解答： 解：抛物线C₁：y=ax²（a＞0）的焦点坐标为：(0，

1

4a

)，
双曲线C₂：

x2

3

-y²=1的右焦点坐标为：（2，0）；
则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为

x

2

+

y

1 4a

=1即x+8ay-2=0①
设该直线交抛物线于M(x0，ax02)，
∵y′=2ax，
∴C₁在点M处的切线的斜率为2ax₀，
由题意可知2ax₀=

b

a

=

3

3

，得x0=

3

6a

，代入M点得M（

3

6a

，

1

12a

），
把M点代入①得：

3

6a

+

8a

12a

-2=0解得a=

3

8

．
故选：B．

点评：本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．