Question

下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）

• A、y=

  1

  2

  +

  1

  2x+1

• B、y=

  1

  2

  -

  1

  2x+1

• C、y=

  1

  2

  +

  1

  2x-1

• D、y=

  1

  2

  -

  1

  2x-1

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：B和D由复合函数的单调性知，在区间（0，+∞）上是增函数；
A和C在区间（0，+∞）上是减函数，但A不是奇函数，由奇函数的定义知C是奇函数．

解答： 解：A：f(x)=

1

2

+

1

2x+1

，则f(-x)=

1

2

+

1

2-x+1

=

1

2

+

2x

1+2x

≠-f（x），∴不是奇函数，A不合意意；
B：y=

1

2

-

1

2x+1

在（0，+∞）上单调递增，B不合意意；
C：f(x)=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-

2x+1

2(2x-1)

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数，又f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴C符合题意．
D：y=

1

2

-

1

2x-1

在（0，+∞）上单调递增，D不合意意；
故选：C．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性，运用复合函数的性质判断函数的单调性，运用定义法判断函数的奇偶性，属于基础题．