Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与双曲线的一个交点为M，且tan∠MF₁F₂=

1

2

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  5

• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据F₁F₂为圆的直径，推断出∠F₁MF₂为直角，进而可推断出tan∠MF₁F₂=

|MF1|

|MF2|

=

1

2

求得|MF₁|的关系|MF₂|，设|MF₁|=t，|MF₂|=2t．根据双曲线的定义求得a，利用勾股定理求得c，则双曲线的离心率可得．

解答： 解：∵F₁F₂为圆的直径，
∴△MF₁F₂为直角三角形，
∴tan∠MF₁F₂=

|MF1|

|MF2|

=

1

2

，
设|MF₁|=t，|MF₂|=2t，
根据双曲线的定义可知a=

2t-t

2

=

1

2

t，
4c²=t²+4t²=5t²，
∴c=

5

2

t，
∴e=

c

a

=

5

．
故选：C．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生数形结合思想的运用和基本的运算能力．