Question

在平面直角坐标系中，已知A₁（-3，0）A₂（3，0）P（x，y）M（

x2-9

，0），若向量

A1P

，λ

OM

，

A2P

满足(

OM

)2=3

A1P

•

A2P

（1）求P点的轨迹方程，并判断P点的轨迹是怎样的曲线；
（2）过点A₁且斜率为1的直线与（1）中的曲线相交的另一点为B，能否在直线x=-9上找一点C，使△A₁BC为正三角形．

Answer 1

分析：（1）直接由已知中点的坐标得到向量的坐标，代入(

OM

)2=3

A1P

•

A2P

整理得答案；
（2）求出过点A₁且斜率为1的直线方程，和（1）中椭圆联立后求出两个焦点的坐标，设出C的坐标，利用∵△A₁BC是正三角形得到边长相等，由边长相等得到矛盾的式子，从而说明在直线x=-9上找不到一点C，使△A₁BC为正三角形．

解答：解：（1）由A₁（-3，0），A₂（3，0），P（x，y），M（

x2-9

，0），
可得

A1P

=(x+3，y)， 

A2p

=(x-3，y)，

OM

=(

x2-9

，0)，
∵(

OM

)2=3

A1P

•

A2P

，∴x²-9=3（x+3，y）•（x-3，y），
即x²-9=3x²+3y²-27，也就是2x²+3y²-18=0，即

x2

9

+

y2

6

=1，
故P点的轨迹是与6为长轴长，2

3

为焦距，焦点在x轴上的椭圆；
（2）过点A₁且斜率为1的直线方程为y=x+3，
由

y=x+3 x2 9 + y2 6 =1

，得5x2+18x+9=0，x1=-3，  x2=-

3

5

．
从而|A1B|=

1+k2

|x2-x1|=

12

5

2

．
设C（-9，y），则|A1C|=

(-9+3)2+(y-0)2

=

y2+36

．
∵△A₁BC是正三角形，∴|A1B|=|A1C|，

y2+36

=

12

5

2

，
即y2=-

612

25

，无解，
∴在直线x=-9上找不到点C，使△A₁BC是正三角形．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了平面向量的坐标运算，考查了两点间距离的求法，是中高档题．