Question

2．已知递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_n-2+3log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意利用等比数列的通项公式和等差中项定义列出方程组，求出首项和公式比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，利用分组求和法能求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）∵递增等比数列{a_n}满足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴由题意，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=28}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=2（{a}_{1}{q}^{2}+2）}\\{q＞0}\end{array}\right.$，
解得a₁=2，q=2，
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）∵b_n=a_n-2+3log₂a_n=${2}^{n}-2lo{g}_{2}{2}^{n}$=2ⁿ-2n，
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-2（1+2+3+…+n）
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2×$\frac{n（1+n）}{2}$
=2ⁿ⁺¹+n²+n-2．

点评 本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．