Question

3．已知f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜-xf′（x），则不等式f（$\sqrt{x}$+1）＞（$\sqrt{x}$-1）f（x-1）的解集是（　　）

• A． （0，4）
• B． （1，4）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=xf（x）求函数的导数，利用函数的单调性即可求不等式．

解答 解：设g（x）=xf（x），
则g′（x）=[xf（x）]′=xf′（x）+f（x）＜0，
即当x＞0时，函数g（x）=xf（x）单调递减，
∵f（$\sqrt{x}$+1）＞（$\sqrt{x}$-1）f（x-1）
∴（$\sqrt{x}$+1）f（$\sqrt{x}$+1）＞（x-1）f（x-1），
∴g（$\sqrt{x}$+1）＞g（x-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1＞0}\\{\sqrt{x}+1＜x-1}\end{array}\right.$，解得：x＞4
则不等式的解集为（4，+∞），
故选：D．

点评 本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．