Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.$（θ为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρcosθ=-2．
（Ⅰ）求C₁和C₂在直角坐标系下的普通方程；
（Ⅱ）已知直线l：y=x和曲线C₁交于M，N两点，求弦MN中点的极坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消调参数θ，即可得到普通方程，由极坐标方程即可直接得到普通方程；
（Ⅱ）根据韦达定理，即可求出弦MN中点的坐标，再化为极坐标即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x-1=cosθ\\ y-2=sinθ\end{array}\right.$，得 （x-1）²+（y-2）²=cos²θ+sin²θ=1，
所以C₁的普通方程为（x-1）²+（y-2）²=1．
因为x=ρcosθ，所以C₂的普通方程为x=-2．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（{x-1}）^2}+{（{y-2}）^2}=1\\ y=x\end{array}\right.$，
得x²-3x+2=0，
$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，弦MN中点的横坐标为$\frac{3}{2}$，代入y=x得纵坐标为$\frac{3}{2}$，
弦MN中点的极坐标为：$（{\frac{3}{2}\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$

点评 本题考查了把极坐标方程及参数方程化为直角坐标方程、极坐标与直角坐标的互化方法，属于基础题．