Question

13．记等比数列{a_n}前n项和为S_n，已知a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1-3b_n=3a_n，求数列{b_n}的前n项和B_n；
（3）删除数列{a_n}中的第3项，第6项，第9项，…，第3n项，余下的项按原来的顺序组成一个新数列，记为{c_n}，{c_n}的前n项和为T_n，若对任意n∈N^*，都有$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞a，试求实数a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差数列，可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=30，3S₁+S₃=2×2S₂，化简解出利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n+1-3b_n=3a_n=3ⁿ⁺¹，变形为$\frac{{b}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}$=1，利用等差数列的通项公式可得b_n，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式可得B_n．
（3）由题意可得：c_2n-1=a_3n-2=3^3n-2，c_2n=a_3n-1=3^3n-1，可得c_2n-1+c_2n=3^3n-2+3^3n-1=$\frac{4}{9}$×27ⁿ．对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差数列，
∴${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=30，3S₁+S₃=2×2S₂，化为：3a₂=a₃，解得q=3，a₁=3．∴a_n=3ⁿ．
（2）∵b_n+1-3b_n=3a_n=3ⁿ⁺¹，∴$\frac{{b}_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}$=1．
∴数列$\{\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差数列，公差为1，首项为1．
∴$\frac{{b}_{n}}{{3}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴b_n=n•3ⁿ．
∴数列{b_n}的前n项和B_n=3+2×3²+…+n•3ⁿ，
3B_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2B_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴B_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．
（3）由题意可得：c_2n-1=a_3n-2=3^3n-2，c_2n=a_3n-1=3^3n-1，
∴n=2k（k∈N^*）时，c_2n-1+c_2n=3^3n-2+3^3n-1=$\frac{4}{9}$×27ⁿ．
T_n=T_2k=$\frac{4}{9}$×$\frac{27（2{7}^{n}-1）}{27-1}$=$\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}$．
n=2k-1时，T_n=T_2k-1=T_2k-3^3n-1=$\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}$-3^3n-1=$\frac{5×{3}^{3n-1}-6}{13}$．
因此：n=2k（k∈N^*）时，$\frac{{T}_{2k+1}}{{T}_{2k}}$=$\frac{\frac{5×{3}^{3n+2}-6}{13}}{\frac{6（{3}^{3n}-1）}{13}}$=$\frac{15}{2}$+$\frac{13}{2}×\frac{1}{2{7}^{n}-1}$∈$（\frac{15}{2}，\frac{31}{4}]$．
n=2k-1（k∈N^*）时，$\frac{{T}_{2k}}{{T}_{2k-1}}$=$\frac{\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}}{\frac{5×{3}^{3n-1}-6}{13}}$=$\frac{18}{5-\frac{13}{2{7}^{n}-1}}$∈$（\frac{18}{5}，4]$．
综上可得：$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞$\frac{18}{5}$．∴a的最大值为$\frac{18}{5}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列与等差数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．