Question

3．已知向量$\overrightarrow{OA}$=（4，3），$\overrightarrow{OB}$=（2，-1），O为坐标原点，P是直线AB上一点．
（Ⅰ）若点P是线段AB的中点，求向量$\overrightarrow{OA}$与向量$\overrightarrow{OP}$夹角θ的余弦值；
（Ⅱ）若点P在线段AB的延长线上，且|${\overrightarrow{AP}}$|=$\frac{3}{2}$|${\overrightarrow{PB}}$|，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （I）利用中点坐标公式可得P，再利用向量夹角公式即可得出．
（II）设P（x，y），由点P在线段AB的延长线上，且$|{\overrightarrow{AP}}|=\frac{3}{2}|{\overrightarrow{PB}}|$，可得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BP}$，即$（{x-4，y-3}）=\frac{3}{2}（{x-2，y+1}）$，利用向量相等即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵点P是线段AB的中点，∴点P的坐标为$（{\frac{2+4}{2}，\frac{3-1}{2}}）$，即（3，1），
则$\overrightarrow{OP}=（{3，1}）$．
∴$cosθ=\frac{{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}}}{{|{\overrightarrow{OA}}|•|{\overrightarrow{OP}}|}}$=$\frac{4×3+3×1}{{\sqrt{{4^2}+{3^2}}×\sqrt{{3^2}+{1^2}}}}$=$\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$． 
（Ⅱ）设P（x，y），由点P在线段AB的延长线上，且$|{\overrightarrow{AP}}|=\frac{3}{2}|{\overrightarrow{PB}}|$，
得$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BP}$，∴$（{x-4，y-3}）=\frac{3}{2}（{x-2，y+1}）$，
即$\left\{\begin{array}{l}2x-8=3x-6\\ 2y-6=3y+3\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-9\end{array}\right.$，
∴点P的坐标为（-2，-9）．

点评 本题考查了向量的线性运算及其坐标运算性质、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．