Question

8．在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，已知c（acosB-$\frac{1}{2}b}$）=a²-b²．
（1）求角A；
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化简已知可得a²=c²+b²-bc，根据余弦定理可求cosA，结合范围A∈（0，π），即可解得A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简可得sinB+sinC=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合范围B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可求B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质即可解得sinB+sinC的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵$c（{acosB-\frac{1}{2}b}）={a^2}-{b^2}$，
由余弦定理得：a²+c²-b²-bc=2a²-2b²，可得：a²=c²+b²-bc，…3分
∵a²=c²+b²-2bccosA，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，…5分
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$． …（6分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB…（7分）
=$\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB=\sqrt{3}sin（{B+\frac{π}{6}}）$；  …（9分）
∵$B∈（{0，\frac{2π}{3}}）$，
∴$B+\frac{π}{6}∈（{\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}}）$，$sin（{B+\frac{π}{6}}）∈（{\frac{1}{2}，1}]$． …（11分）
∴sinB+sinC的取值范围为（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$\sqrt{3}$]．  …（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．