Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点A（2，3），且右焦点为F（2，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设坐标原点为O，平行于OA的直线l与椭圆C有公共点，且OA与l的距离等于$\sqrt{13}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）由已知得 c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，由此能求出椭圆C的方程．
（2）平行于OA的直线l的方程为y=$\frac{3}{2}$x+t，联立直线与椭圆方程，得3x²+3bx+t²-12=0，由此利用根的判别式，结合OA与l的距离等于$\sqrt{13}$，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）依题意设椭圆C的方程为$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
且可知左焦点为F′（-2，0），
|AF|=$\sqrt{（2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=3，
|AF′|=$\sqrt{（-2-2）^{2}+（3-0）^{2}}$=5，
从而有c=2，2a=|AF|+|AF′|=8，
解得a=4，c=2，
又a²=b²+c²，所以b²=12，
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1．
（2）∵k_OA=$\frac{3}{2}$，∴平行于OA的直线l的方程为y=$\frac{3}{2}$x+t，
联立直线与椭圆方程，得3x²+3bx+t²-12=0，
∵平行于OA的直线l与椭圆有公共点，∴△=9t²-12（t²-12）≥0，
解得-4$\sqrt{3}$≤t≤4$\sqrt{3}$
∵OA与l的距离等于$\sqrt{13}$，
∴$\frac{|t|}{\sqrt{\frac{9}{4}+1}}$=$\sqrt{13}$，
∴t=±$\frac{13}{2}$∈[-4$\sqrt{3}$，4$\sqrt{3}$]
∴直线l的方程为y=$\frac{3}{2}$x±$\frac{13}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．