Question

9．设x．y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为6．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b的最小值．

解答 解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=-abx+z，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y=-abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-abx+z，由图象可知当y=-abx+z经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$，即A（1，4）．
此时z=ab+4=13，
即ab=9，
则a+b$≥2\sqrt{ab}$=2$•\sqrt{9}$=2×3=6，
当且仅当a=b=3时取=号，
故最小值为6，
故答案为：6．

点评 本题主要考查线性规划的应用以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．