Question

9．设关于某产品的明星代言费x（百万元）和其销售额y（百万元），有如表所示的统计表格．

i	1	2	3	4	5	合计
xi（百万元）	1.26	1.44	1.59	1.71	1.82	7.82
wi（百万元）	2.00	2.99	4.02	5.00	6.03	20.04
yi（百万元）	3.20	4.80	6.50	7.50	8.00	30.00

$\overline{x}$=1.56，$\overline{w}$=4.01，$\overline{y}$=6，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=48.66，$\sum_{i=1}^{5}$w_iy_i=132.62，$\sum_{i=1}^{5}$（x_i-$\overline{x}$）²=0.20，$\sum_{i=1}^{5}$（w_i-$\overline{w}$）²=10.14
表中w_i=x_i³（i=1，2，3，4，5）（以下计算过程中的数据统一保留到小数点后第2位）．
（1）在坐标系中，做出销售额y关于明星代言费x的回归类方程的散点图；
（2）根据散点图指出：y=a+blnx，y=c+dx³哪一个更适合作销售额y关于明星代言费x的回归类方程（不需要说明理由）；
（3）①已知这种产品的纯收益z（百万元）与x、y有如下关系：z=0.2y-0.726x（x∈[1.00，2.00]），试写出z=f（x）的函数关系式；
②试估计当x取何值时，纯收益z取最大值？
附：对于一组具有线性相关关系的数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…（u_n，v_n），其回归直线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\overline{β}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{u}_{i}{v}_{i}-n\overline{u}\overline{v}}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，$\overline{α}$=$\overline{v}$-$\overline{β}$$\overline{u}$．

Answer 1

分析 （1）把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，
（2）根据散点图，y=c+dx³，适合销售额y关于明星代言费x的回归方程，
（3）①令ω=x³，则y=c+dω，是y关于ω的线性回归方程，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，$\overline{y}$=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³，构造辅助函数，利用函数的导数，求得函数的单调，根据函数的单调性求得纯收益z取最大值．

解答 解：（1）散点图如下：

（2）根据散点图可知，y=c+dx³，适合销售额y关于明星代言费x的回归方程，
（3）①令ω=x³，则y=c+dω，是y关于ω的线性回归方程，
所以$\stackrel{^}{d}$=$\frac{\sum_{i=1}^{5}{ω}_{i}{y}_{i}-5\overline{ω}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{5}（{ω}_{i}-\overline{ω}）^{2}}$≈1.21，$\stackrel{^}{c}$=$\overline{y}$-$\stackrel{^}{d}$•$\overline{ω}$≈1.15，
∴线性回归方程：$\overline{y}$=1.15+1.21ω=1.15+1.21x³，
z=f（x）=0.2y-0.726x，
=0.2（1.15+1.21x³）-0.726x，
=0.242x³-0.726x+0.23，其中x∈[1.00，2.00]，
②令z′=0.726x²-0.726≥0，x≥1.00，
故z=f（x）在区间[1.00，2.00]内单调递增，
所以估计当明星的代言费为x=2.00百万时，纯收益z取最大值．

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，属于中档题．