Question

17．已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁=1，5（a₁+a₂）=a₁+a₂+a₃+a₄，
（1）求{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设T_n=$\frac{{a}_{1}}{{S}_{1}{S}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{S}_{2}{S}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求证：T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）通过对5（a₁+a₂）=a₁+a₂+a₃+a₄化简可知公比q=2，进而可知数列{a_n}的通项与前n项和；
（2）通过（1）裂项可知$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），进而并项相加、放缩即得结论．

解答 （1）解：∵5（a₁+a₂）=a₁+a₂+a₃+a₄，
∴4（a₁+a₂）=a₃+a₄，
又∵数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，
∴4（a₁+a₂）=q²（a₁+a₂），
解得：q=2或q=-2（舍），
∴数列{a_n}是首项为1、公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1；
（2）证明：由（1）可知：$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$），
∴T_n=$\frac{{a}_{1}}{{S}_{1}{S}_{2}}$+$\frac{{a}_{2}}{{S}_{2}{S}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{2}-1}$）+（$\frac{1}{{2}^{2}-1}$-$\frac{1}{{2}^{3}-1}$）+…+（$\frac{1}{{2}^{n}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）]
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2-1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$）
＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．