Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1．
（1）证明PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出DA⊥PA，AC⊥AD，从而DA⊥面PAC，由此能证明DA⊥PC．
（2）过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，由此能求出二面角A-PC-D的正弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，DA?平面ABCD
∴DA⊥PA，
又∵AC⊥AD，PA∩AC=A，
∴DA⊥面PAC，
又PC?面PAC，∴DA⊥PC．
（2）过A作AM⊥PC交PC于M，连接DM，则∠AMD为所求角，
在Rt△PAC中，AM=$\frac{2}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{2}{{\sqrt{5}}}$，
在Rt△DAM中，DM=$\frac{{2\sqrt{30}}}{5}$，
在Rt△AMD中，sin∠AMD=$\frac{AD}{DM}=\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．
∴二面角A-PC-D的正弦值为$\frac{\sqrt{30}}{6}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．