Question

18．三棱锥P-ABC，底面ABC为边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，平面PBC⊥平面ABC，PB=PC=2，D为AP上一点，AD=2DP，O为底面三角形中心．
（Ⅰ）求证DO∥面PBC；
（Ⅱ）求证：BD⊥AC；
（Ⅲ）设M为PC中点，求平面MBD和平面BDO所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE，推导出DO∥PE，由此能证明DO∥面PBC．
（Ⅱ）推导出PE⊥BC，从而PE⊥平面ABC，进而DO⊥平面ABC，由此得DO⊥AC，再由AC⊥BO，能证明AC⊥BD．
（Ⅲ）分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BD-O的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AO交BC于点E，连接PE．
∵O为正三角形ABC的中心，∴AO=2OE，
且E为BC中点．又AD=2DP，
∴DO∥PE，
∵DO?平面PBC，PE?平面PBC
∴DO∥面PBC．（4分）
（Ⅱ）∵PB=PC，且E为BC中点，∴PE⊥BC，
又平面PBC⊥平面ABC，
∴PE⊥平面ABC，
由（Ⅰ）知，DO∥PE，
∴DO⊥平面ABC，
∴DO⊥AC
连接BO，则AC⊥BO，又DO∩BO=O，
∴AC⊥平面DOB，∴AC⊥BD．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，EA，EB，EP两两互相垂直，且E为BC中点，
所以分别以EA，EB，EP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
如图，则A（3，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），
D（1，0，$\frac{2}{3}$），C（0，-$\sqrt{3}$，0），M（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{BM}$=（0，-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{DB}$=（-1，$\sqrt{3}$，-$\frac{2}{3}$），
设平面BDM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=-x+\sqrt{3}y-\frac{2}{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}y+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，1，3$\sqrt{3}$），（10分）
由（Ⅱ）知AC⊥平面DBO，
∴$\overrightarrow{AC}$=（-3，-$\sqrt{3}$，0）为平面DBO的法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3\sqrt{3}-\sqrt{3}}{\sqrt{31}•\sqrt{12}}$=$\frac{\sqrt{31}}{31}$，
由图可知，二面角M-BD-O的余弦值为$\frac{\sqrt{31}}{31}$．（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．