Question

13．已知斜率为1的直线l与圆心为O₁（1，0）的圆相切于点P，且点P在y轴上．
（Ⅰ）求圆O₁的方程；
（Ⅱ）若直线l′与直线l平行，且圆O₁上恰有四个不同的点到直线l′的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求直线l′纵截距的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设P的坐标为（0，t），由题目条件即可得出结论；
（Ⅱ）设出l′：y=x+b，由O₁上恰有四个不同的点到直线l′的距离等于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出答案．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，设P的坐标为（0，t），
∵O₁P⊥l，
∴$\frac{t-0}{0-1}$=-1，∴t=1，
即点P的坐标为（0，1），
从而圆O₁的半径r=|O₁P|=$\sqrt{2}$，
故所求圆O₁的方程为（x-1）²+y²=2；
（Ⅱ）∵l∥l′，∴设l′：y=x+b，
由圆O₁上恰有四个点到直线l′距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
得圆心到直线y=x+b的距离d=$\frac{|1+b|}{\sqrt{2}}$$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得-2＜b＜0，
即直线l′纵截距的取值范围为（-2，0）．

点评 本题考查圆的切线，根据圆的性质，属于中档题．