Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AB=5，BC=4，AC=CC₁=3，D为AB的中点
（Ⅰ）求证：AC⊥BC₁；
（Ⅱ）求异面直线AC₁与CB₁所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角D-CB₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BC₁．
（Ⅱ）求出$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，3），利用得量法能地求出异面直线AC₁与CB₁所成角的余弦值．
（Ⅲ）求出平面BCB₁的一个法向量和平面DCB₁的一个法向量，利用向量法能求出二面角D-CB₁-B的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵AB=5，BC=4，AC=CC₁=3，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥BC，
又CC₁⊥平面ABC，∴CA，CB，CC₁两两垂直，
以C为原点，直线CA，CB，CC₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C₁（0，0，3），B₁（0，4，3），
$\overrightarrow{AC}$=（-3，0，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-4，3），
∵$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{B{C}_{1}}$=0，∴$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，
∴AC⊥BC₁．
解：（Ⅱ）∵$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，3），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，3），|$\overrightarrow{A{C}_{1}}$|=3$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{C{B}_{1}}$|=5，
cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{C{B}_{1}}$＞=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{C{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{C{B}_{1}}|}$=$\frac{9}{3\sqrt{2}×5}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$，
∴异面直线AC₁与CB₁所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
（Ⅲ）∵D是AB的中点，∴D（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{CD}$=（$\frac{3}{2}，2，0$），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，4，3），
∵AC⊥BC₁，AC⊥CC₁，BC₁∩CC₁=C₁，
∴AC⊥平面BCB₁，
∴平面BCB₁的一个法向量$\overrightarrow{CA}$=（3，0，0），
设平面DCB₁的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=\frac{3}{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=4y+3z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{m}$=（-$\frac{4}{3}$，1，-$\frac{4}{3}$），
cos＜$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{-4}{3•\frac{\sqrt{41}}{3}}$=-$\frac{4\sqrt{41}}{41}$，
由图知二面角D-CB₁-B的平面角是锐角，
∴二面角D-CB₁-B的余弦值为$\frac{4\sqrt{41}}{41}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．