Question

15．已知圆C：（x-3）²+（y-3）²=4及点A（1，1），M为圆C上的任意点N在线段MA的延长线上，且$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{AN}$．
（1）求点N的轨迹方程；
（2）求|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）设出动点的坐标，利用向量条件确定动点坐标之间的关系，利用M为圆C上任意一点，即可求得结论；
（2）由（1）可得两个圆的圆心在直线y=x上，|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值为|OC|+2-1，即可求出求|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值．

解答 解：（1）设N（x，y），M（x₀，y₀），则
由$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{AN}$得（1-x₀，1-y₀）=2（x-1，y-1），
∴1-x₀=2x-2，1-y₀=2y-2，即x₀=3-2x，y₀=3-2y，
∵M为圆C上任意一点
∴（x₀-3）²+（y₀-3）²=4，
∴（3-2x-3）²+（3-2y-3）²=4，
∴x²+y²=1．
即点N的轨迹方程是x²+y²=1；
（2）由（1）可得两个圆的圆心在直线y=x上，
∴|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值为|OC|+2-1=$\sqrt{9+9}$+1=3$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查轨迹方程，解题的关键是利用向量条件确定动点坐标之间的关系，属于中档题．