Question

6．已知函数f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在区间[1，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若h（x）=x²-f（x），求证：当1＜x＜e²时，恒有$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，由已知函数f（x）=x²-alnx在x=1处取得极值，即f'（1）=0，求出a的值，然后检验，满足题意即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-a}}{x}$，定义域为（0，+∞），然后分类讨论，当a≤0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），最小值为f（1）=1；当0＜a≤2，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1；当a＞2时，函数f（x）在$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$取得最小值$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$，综上当a≤2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为1；当a＞2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$；
（Ⅱ）由h（x）=x²-f（x）得h（x）=2lnx，当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4，欲证$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$，只需证x[4-h（x）]＜4+h（x），即$lnx＞\frac{2x-2}{x+1}$，设$φ（x）=lnx-\frac{2x-2}{x+1}$，求出φ'（x），当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，φ（x）在区间（1，e²）上单调递增，当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，即$lnx-\frac{2x-2}{x+1}＞0$，则可证明结论成立．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=x²-alnx，定义域为（0，+∞），
得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}$．
∵函数f（x）=x²-alnx在x=1处取得极值，
∴f'（1）=0，即2-a=0，解得a=2．
经检验，满足题意，∴a=2；                             
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-a}}{x}$，定义域为（0，+∞）．
当a≤0时，有f'（x）＞0，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1；
当0＜a≤2，由f'（x）=0得$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$，且$0＜\sqrt{\frac{a}{2}}≤1$．
当$x∈（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当$x∈（\sqrt{\frac{a}{2}}\;，\;+∞）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，最小值为f（1）=1；
当a＞2时，$\sqrt{\frac{a}{2}}＞1$，
当$x∈（1，\sqrt{\frac{a}{2}}）$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当$x∈（\sqrt{\frac{a}{2}}\;，\;+∞）$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴函数f（x）在$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$取得最小值$f（\sqrt{\frac{a}{2}}）=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$．
综上当a≤2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为1；
当a＞2时，f（x）在区间[1，+∞）上的最小值为$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$．          
（Ⅲ）证明：由h（x）=x²-f（x）得h（x）=2lnx．
当1＜x＜e²时，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4，
欲证$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$，只需证x[4-h（x）]＜4+h（x），
即证$h（x）＞\frac{4x-4}{x+1}$，即$lnx＞\frac{2x-2}{x+1}$．                               
设$φ（x）=lnx-\frac{2x-2}{x+1}$，
则$φ'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2（x+1）-（2x-2）}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{{x{{（x+1）}^2}}}$．
当1＜x＜e²时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在区间（1，e²）上单调递增．
∴当1＜x＜e²时，φ（x）＞φ（1）=0，即$lnx-\frac{2x-2}{x+1}＞0$，
故$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$．
∴当1＜x＜e²时，$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$恒成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了学生的运算能力，计算量比较大，属于难题．