Question

18．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是侧棱BB₁的中点．
（1）求证：直线AE⊥平面A₁D₁E；
（2）求二面角E-AD₁-A₁的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线AE⊥平面A₁D₁E．
（2）求出平面AED₁的法向量和平面A₁D₁A的法向量，利用向量法能求出二面角E-AD₁-A₁的平面角的余弦值．

解答 证明：（1以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），E（1，1，1），A₁（1，0，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=（-1，0，0），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}E}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}$=0，
∵AE⊥A₁E，AE⊥A₁D₁，
∵A₁E∩A₁D₁=A₁，∴直线AE⊥平面A₁D₁E．
解：（2）$\overrightarrow{AE}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
设平面AED₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
又平面A₁D₁A的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
设二面角E-AD₁-A₁的平面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴二面角E-AD₁-A₁的平面角的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的率余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．