如图.OM.ON是两条海岸线.Q为海中一个小岛.A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=-3.OA=6km.Q到海岸线OM.ON的距离分别为3km.$\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$km．现要在海岸线ON上再建一个码头.使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．(1)求水上旅游线AB的长,(2)若小岛正北方向距离小岛6km处� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，OM，ON是两条海岸线，Q为海中一个小岛，A为海岸线OM上的一个码头．已知tan∠MON=-3，OA=6km，Q到海岸线OM，ON的距离分别为3km，$\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$km．现要在海岸线ON上再建一个码头，使得在水上旅游直线AB经过小岛Q．
（1）求水上旅游线AB的长；
（2）若小岛正北方向距离小岛6km处的海中有一个圆形强水波P，从水波生成th时的半径为r=3$\sqrt{at}$（a为大于零的常数）．强水波开始生成时，一游轮以18$\sqrt{2}$km/h的速度自码头A开往码头B，问实数a在什么范围取值时，强水波不会波及游轮的航行．

分析（1）由点到直线的距离，结合直线AQ的方程，即可求出AB的长；
（2）强水波不会波及游轮的航行即$P{C^2}＞{r^2}对t∈[{0，\frac{1}{2}}]恒成立$，代入进行分类讨论，即可得出结论．

解答解：（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立直角坐标系如图所示．
则由题设得：A（6，0），直线ON 的方程为y=-3x，Q（x₀，3）（x₀＞0）．
由$\frac{{|{3{x_0}+3}|}}{{\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{5}$，及x₀＞0 得x₀=3，∴Q（3，3）．
∴直线AQ 的方程为y=-（x-6），即x+y-6=0，
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=-3x}\\{x+y-6=0}\end{array}}\right.$ 得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=9}\end{array}}\right.$ 即B（-3，9），
∴$AB=\sqrt{{{（{-3-6}）}^2}+{9^2}}=9\sqrt{2}$，
即水上旅游线AB 的长为$9\sqrt{2}km$．
（2）设试验产生的强水波圆P，
由题意可得P（3，9），生成t 小时时，游轮在线段AB 上的点C 处，则
AC=18$\sqrt{2}$t，0$≤t≤\frac{1}{2}$，∴C（6-18t，18t）．
强水波不会波及游轮的航行即$P{C^2}＞{r^2}对t∈[{0，\frac{1}{2}}]恒成立$．
PC²=（18t-3）²+（18t-9）²＞r²=9at，
当t=0 时，上式恒成立，
当$t≠0时，即t∈（{0，\frac{1}{2}}]时$，$a＜72t+\frac{10}{t}-48$.$令g（t）=72t+\frac{10}{t}-48，t∈（{0，\frac{1}{2}}]$，$g（t）=72t+\frac{10}{t}-48≥24\sqrt{5}-48$，当且仅当$t=\frac{{\sqrt{5}}}{6}∈（0，\frac{1}{2}]$ 时等号成立，
所以，在0＜a＜24$\sqrt{5}$-48 时r＜PC 恒成立，亦即强水波不会波及游轮的航行．

点评本题考查直线与圆的位置关系在生产生活中的实际应用，注意圆的性质、直线方程的合理运用是解题的关键，属于中档题．

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