Question

17．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．
（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；
（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；
（Ⅲ）当x=2时，求二面角F-EB-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；
（Ⅱ） 根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；
（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．

解答 证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，
∴平面ABF∥平面DCE，
∵平面ADEF⊥平面ABCD，
∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，
∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=$\frac{2a}{x}$，由相似比得$\frac{AF}{ED}=\frac{AB}{CD}$，即$\frac{\frac{2a}{x}}{a}=\frac{a}{2a}$，得x=4
（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=$\sqrt{2}$，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，
则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=$\sqrt{2}$，
∵BD²+BC²=CD²，
∴BC⊥BD．
∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，
∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，
又∵ED∩BD=D，
∴BC⊥平面BDE．
又∵BC?平面BCE，
∴平面BDE⊥平面BEC．
（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1
∵x=2，∴CD=2，
则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{EF}$=（1，0，0），$\overrightarrow{EB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{EC}$=（0，2，-1），
设平面EF的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{x+y-z=0}\end{array}\right.$，则取$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设平面EBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{EB}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{2y-z=0}\end{array}\right.$，令y=1，则z=2，x=1，即$\overrightarrow{m}$=（1，1，2），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=30°，
∵二面角F-EB-C是钝二面角，
∴二面角F-EB-C的大小为150°．

点评 本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．