Question

15．如图，圆C与x轴相切于点T（2，0），与y轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的下方），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$相交于两点A、B，连接AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r），根据|MN|=3，利用弦长公式求得r的值，可得圆C的方程．
（Ⅱ）把x=0代入圆C的方程，求得M、N的坐标，当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM，当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程，利用韦达定理求得K_AB+K_BN=0，可得∠ANM=∠BNM．

解答 解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），依题意，圆心坐标为（2，r）．
∵|MN|=3，∴${r^2}={（{\frac{3}{2}}）^2}+{2^2}$，解得${r^2}=\frac{25}{4}$，
故圆C的方程为${（{x-2}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{25}{4}$．
（Ⅱ）把x=0代入方程${（{x-2}）^2}+{（{y-\frac{5}{2}}）^2}=\frac{25}{4}$，解得y=1或y=4，
即点M（0，1），N（0，4）．
（1）当AB⊥y轴时，由椭圆的对称性可知∠ANM=∠BNM．
（2）当AB与y轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=kx+1．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}+2{y^2}=8\end{array}\right.$，消去y得，（1+2k²）x²+4kx-6=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，
则${x_1}+{x_2}=\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$．

∴${k_{AN}}+{k_{BN}}=\frac{{{y_1}-4}}{x_1}+\frac{{{y_2}-4}}{x_2}=\frac{{k{x_1}-3}}{x_1}+\frac{{k{x_2}-3}}{x_2}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=0，
∴∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．

点评 本题考查了圆的标准方程求法以及圆锥曲线问题中韦达定理的应用，弦长公式，是综合类的题目，考虑到证两条直线的斜率互为相反数是解决此题的关键，属于中档题．