Question

20．在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，SB=BC，
（1）求证：BD⊥平面SAC；
（2）求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理即可证明先证BD⊥面SAC，
（2）根据二面角的平面角的定义得到∠EDC是所求的二面角的平面角，利用Rt△SAC与Rt△EDC相似求出∠EDC即可．

解答 证明：（1）由于SB=BC，且E是SC的中点，因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线，所以SC⊥BE．
又已知SC⊥DE，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE，
∴SC⊥BD．
又∵SA⊥底面ABC，BD在底面ABC上，
∴SA⊥BD．
而SC∩SA=S，∴BD⊥面SAC．
（2）∵DE=面SAC∩面BDE，DC=面SAC∩面BDC，
∴BD⊥DE，BD⊥DC．
∴∠EDC是所求的二面角的平面角．
∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC．
设SA=a，则AB=a，BC=SB=$\sqrt{2}$a
∵AB⊥BC，∴AC=$\sqrt{3}a$，在Rt△SAC中tan∠ACS=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴∠ACS=30°．
又已知DE⊥SC，所以∠EDC=60°，即所求的二面角等于60°．

点评 本题主要考查了平面与平面之间的位置关系以及二面角的求解，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，利用二面角的定义找出二面角的平面角是解决本题的关键．．