Question

17．若f（x）=$\frac{1}{2}$（x-2）²+mlnx在（1，2）上单调递减，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1）
• C． （0，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 可求导数得到$f′（x）=x-2+\frac{m}{x}$，根据条件便知f′（x）≤0在（1，2）上恒成立，利用参数分离法转化为求函数的最值即可．

解答 解：据题意，$x-2+\frac{m}{x}≤0$在x∈（1，2）上恒成立；
∴x²-2x+m≤0恒成立；
∴m≤-x²+2x恒成立；
即m≤-（x-1）²+1在x∈（1，2）上恒成立；
而x∈（1，2）时，0＜-（x-1）²+1＜1；
∴m≤0．
故选A．

点评 考查函数单调性和函数导数符号的关系，清楚函数$y=x+\frac{m}{x}$的单调性，以及根据函数单调性求函数最值的方法．