Question

12．如图，三棱锥P-ABC中，PB⊥平面ABC，PB=BC=CA=4，∠BCA=90°，E为PC的中点．
（1）求证：BE⊥平面PAC；
（2）求二面角E-AB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥AB，AC⊥CB，从而AC⊥平面PBC，进而AC⊥BE，再由BE⊥PC，能证明BE⊥平面PAC．
（2）过E作EF⊥BC，F为垂足，则EF∥PB，过F作FM⊥AB，M为垂足，连结EM，则∠EMF为二面角E-AB-C的平面角，由此能求出二面角E-AB-C的正弦值．

解答 证明：（1）∵PB⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴AC⊥AB，
又∵∠BCA=90°，∴AC⊥CB，
∵CB?平面PBC，PB?平面PBC，PB∩CB=B，
AC⊥平面PBC，
又BE?平面PBC，
∴AC⊥BE，
∵E为PC中点，且PB=PC，∴BE⊥PC，
PC?平面PAC，AC?平面PBC，PC∩AC=C，
∴BE⊥平面PAC．
（2）过E作EF⊥BC，F为垂足，则EF∥PB，
∵PB⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，
∵AB?面ABC，∴EF⊥AB，
过F作FM⊥AB，M为垂足，
连结EM，∵EF∩FM=F，∴AB⊥面EFM，
∵EM?面EFM，∴AB⊥EM，
∴∠EMF为二面角E-AB-C的平面角，
在Rt△EFM中，EF=$\frac{1}{2}PB=2$，FM=FBsin∠B=$\sqrt{2}$，
EM=$\sqrt{E{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
sin$∠EMF=\frac{EF}{EM}$=$\frac{2}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴二面角E-AB-C的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．