Question

4．已知长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，点E为棱BB₁上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD₁；
（Ⅱ）求证：平面D₁DB⊥平面ACE；
（Ⅲ）BE=$\frac{1}{4}$BB₁，求平面ACE与平面ACD₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BD，AC⊥DD₁，从而AC⊥平面D₁DB，由此能证明AC⊥BD₁．
（Ⅱ）由AC⊥平面D₁DB，能证明平面D₁DB⊥平面ACE．
（Ⅲ）设AC∩BD=O，则EO⊥AC，D₁O⊥AC，从而∠EOD₁为所求二面角的平面角，由此能求出平面ACE与平面ACD₁所成角的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）∵长方体AC₁中，棱AB=BC=1，棱BB₁=2，点E为棱BB₁上的点
∴底面为正方形，∴AC⊥BD，又AC⊥DD₁，BD∩DD₁=D，
∴AC⊥平面D₁DB，又BD₁?平面D₁DB，
∴AC⊥BD₁．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AC⊥平面D₁DB，
AC?平面ACE，
∴平面D₁DB⊥平面ACE．（7分）
解：（Ⅲ）∵△D₁AD≌△D₁CD，△EAB≌△ECB，
∴${D_1}A={D_1}C=\sqrt{5}$，$EA=EC=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
设AC∩BD=O，则EO⊥AC，D₁O⊥AC，
∴∠EOD₁为所求二面角的平面角．（9分）
在△D₁OE中，${D_1}O=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，$EO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，${D_1}E=\frac{{\sqrt{17}}}{2}$，
$cos∠EO{D_1}=\frac{{{D_1}{O^2}+E{O^2}-{D_1}{E^2}}}{{2{D_1}O•EO}}=\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．
∴平面ACE与平面ACD₁所成角的余弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{9}$．（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查面面垂直的证明，考查面面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．