Question

1．已知函数f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）
（1）若函数f（x）与x轴相切，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（x₀）=0，f′（x₀）=0，求出a的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，通过讨论求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx-ax，（a∈R，x＞0）
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
设切点为（x₀，0），
则$\left\{{\begin{array}{l}{f'（{x_0}）=0}\\{f（{x_0}）=0}\end{array}}\right.$，故$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{x_0}-a=0}\\{ln{x_0}-a{x_0}=0}\end{array}}\right.$，
解得$a=\frac{1}{e}$．┅┅4分
（2）$由f（x）=lnx-ax得f'（x）=\frac{1}{x}-a=\frac{-ax+1}{x}$，
∵x＞0，a＞0，
$令f'（x）＞0得0＜x＜\frac{1}{a}$；$令f'（x）＜0得x＞\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减；
①当$\frac{1}{a}$≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1，2]上是减函数，
∴f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a．
②当$\frac{1}{a}$≥2，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，
∴f（x）的最小值是f（1）=-a．┅┅7分
③当1＜$\frac{1}{a}$＜2，即$\frac{1}{2}$＜a＜1时，函数f（x）在[1，$\frac{1}{a}$]上是增函数，在[$\frac{1}{a}$，2]是减函数．
又f（2）-f（1）=ln2-a，┅┅9分
∴当$\frac{1}{2}$＜a＜ln2时，最小值是f（1）=-a；
当ln2≤a＜1时，最小值为f（2）=ln2-2a．
综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=-a；
当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是f（x）_min=ln2-2a．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．